Question

 如图，ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.

(1) 求证：PA⊥BD；

(2) 若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.

Answer 1

证明：(1) 因为ABCD为直角梯形，AD＝AB＝BD，

所以AD²＝AB²＋BD²，因此AB⊥BD.

又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB平面PAB，

所以BD⊥平面PAB，

又PA平面PAB，所以PA⊥BD.

(2) 假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN、BN，

则PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，

所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.

又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因为BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.