Question

9．若sinx＜ax对x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，则a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2}{π}$

Answer 1

分析 方法一、设函数f（x）=sinx-ax（对x∈（0，$\frac{π}{2}$）），求出导数，讨论a的范围，判断单调性，可得f（x）的范围，即可得到a的范围；
方法二、由题意可得a＞$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，由g（x）=$\frac{sinx}{x}$，判断g（x）与1的大小，运用导数判断单调性，即可得到g（x）＜1，进而得到a的范围和最小值．

解答 解法一、设函数f（x）=sinx-ax（对x∈（0，$\frac{π}{2}$）），
导数f′（x）=cosx-a，
当a≥1，由cosx∈（0，1），可得f′（x）＜0，f（x）递减，
即有f（x）＜f（0）=0，满足条件；
当a＜1时，存在x∈（0，x₀），f（x）为增函数，
即有f（x）＞f（0）=0，不满足条件．
则a的最小值为1．
解法二、由sinx＜ax对x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即为a＞$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
由g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g（x）-1=$\frac{sinx-x}{x}$，
由（sinx-x）′=cosx-1，
可得cosx-1＜0，则sinx-x在（0，$\frac{π}{2}$）递减，
即有sinx-x＜0，可得g（x）＜1，
则a≥1成立．即a的最小值为1．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，运用函数的单调性是解题的关键，属于中档题．