Question

【题目】对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.

（1）求证：反比例函数不是可变换函数；

（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；

（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】分析：（1）利用反证法，假设是可变换函数，，利用关变量的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，进而可得结论；. （3），则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而可得结果.

详解：（1）假设是可变换函数，则，

因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，

则与假设矛盾，故原结论正确，得证；

（2）若是可变换函数，则，

则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，

连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，

即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；

（3）函数为可变换函数，则，

若，则恒大于，即无交点，不满足题意；

若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意.