Question

【题目】设函数，给定数列，其中,.

（1）若为常数数列，求a的值；

（2）当时，探究能否是等比数列？若是，求出的通项公式；若不是，说明理由；

（3）设，数列的前n项和为，当a=1时，求证：.

Answer 1

【答案】(1)a=0或；（2）①见解析；(3)见详解.

【解析】

(1)数列是常数数列即有 ,再利用可得关于a的等式;

(2)由可得数列的递推关系式,然后取倒数,化解为,讨论首项a是否为零,确定数列是否为等比数列;

(3)由(2)求得数列,通过放缩法将数列再利用错位相减法即可证明.

（1） 为常数列，则，

由得 即

解得：a=0或.

（2）,

当时，，得

①当时，不是等比数列.

②当 时，是以2为公比，以为首项的等比数列，

所以， .

（3）当时， ,

设 ①

②

①-②得

所以

所以