Question

【题目】如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.

（Ⅰ）求证：.

（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.

（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.

详解：证明：（Ⅰ）在中，

因为，所以，所以，，

又因为，平面，所以平面.

又因为平面，所以.

（Ⅱ）在平面内，过点作于点，

由（Ⅰ）知平面，所以，

又因为，平面，所以平面.

在平面内过点作直线，则平面.

如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，

又因为，

所以，.

在中，，

所以，，所以，

所以，，.

从而，.

设是平面的一个法向量，

所以，即，

所以，

取，得是平面的一个法向量.

又平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则 .

因此当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.