Question

已知函数f（x）=xlnx+1
（Ⅰ）若x＞0时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）证明：当时n∈N^*，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）原题等价于当x∈（0，+∞）时，xlnx+1＞kx恒成立，即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，由此利用导数性质能求出实数g（x）＞g（1）=1的取值范围．
（Ⅱ）法一（构造函数法）：由（1）知当x＞0，x≠1时，lnx＞1-

1

x

，令x=

n+1

n

，得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，由此能证明当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．
（Ⅱ）法二（数学归纳法）：当n=1时，ln2＞

1

2

成立；假设当n=k时命题成立，当n=k+1时，利用分析法能证明：ln(k+1)+

1

k+2

＜ln(k+2)，由此能证明当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，函数（1，+∞）的图象恒在直线x∈（1，+∞）上方，
等价于当x∈（0，+∞）时，xlnx+1＞kx恒成立，…（1分）
即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，…（2分）
令g(x)=lnx+

1

x

，x∈（0，+∞），则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

…（3分）
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，故g(x)=lnx+

1

x

在（1，+∞）上递增，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，故g(x)=lnx+

1

x

在（0，1）上递减，…（4分）
∴g（1）为g(x)=lnx+

1

x

在区间（0，+∞）上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，
∴x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=1…（5分）
所以实数g（x）＞g（1）=1的取值范围是（-∞，1）…（6分）
（Ⅱ）证法一（构造函数法）：
由（1）知当x＞0，x≠1时，xlnx+1＞x，即lnx＞1-

1

x

…（8分）
令x=

n+1

n

，则ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

，…（10分）
即得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

…（11分）
∴ln2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

…（12分）
∴ln（n+1）=（ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））
+…+（ln2-ln1）+ln1＞

1

n+1

+

1

n

+…+

1

2

…（13分）
∴当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）
（Ⅱ）证法二（数学归纳法）：
①当n=1时，由2ln2=ln4＞1，知ln2＞

1

2

成立；       …（7分）
②假设当n=k时命题成立，即

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

＜ln(k+1)
那么，当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

+

1

k+2

＜ln(k+1)+

1

k+2

…（8分）
下面利用分析法证明：ln(k+1)+

1

k+2

＜ln(k+2)…（9分）
要证上式成立，只需证：

1

k+2

＜ln(k+2)-ln(k+1)
只需证：1-

k+1

k+2

＜ln

k+2

k+1

…（10分）
令x=

k+2

k+1

，只需证：1-

1

x

＜lnx，（x＞1）…（11分）
只需证：x＜xlnx+1，（x＞1）
由（1）知当x＞1时，xlnx+1＞x恒成立．…（12分）
所以，当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

+

1

k+2

＜ln（k+2）也成立，…（13分）
由①②可知，原不等式成立．
∴当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、数学归纳法的合理运用．