Question

已数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_2k}（k∈N^*）为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）b_n=

1

a2n

+（-1）^n-1•（

1

4

）a_2n-1，{b_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

23

30

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=2k得a_2k+2=3a_2k，即可证明数列{a_2k}（k∈N^*）为等比数列；
（2）a2k=3k，利用a_2k+1=a_2k-1+1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）放缩，再利用等比数列的求和公式，即可证明结论．

解答： （1）证明：令n=2k得a_2k+2=3a_2k
又a₂=3≠0
∴{a_2k}为等比数列（3分）
（2）解：a2k=3k
又a_2k+1=a_2k-1+1=a_2k-3+2=…=a₁+k=k+1
∴an=

n+1 2   (n为奇数) 3 n 2      (n为偶数)

（7分）
（3）证明：bn=

1

3n

+(-1)n-1 • (

1

4

)n=

1 3n + 1 4n          (n为奇数) 1 3n - 1 4n ＜ 1 3n   (n为偶数)

∴Sn＜

1

31

+

1

41

+

1

32

+

1

33

+

1

43

+

1

34

+…+

1

3n

+

1

4n

＜

1 3

1- 1 3

+

1 4

1- 1 42

=

1

2

+

4

15

=

23

30

（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．