Question

已知f′（x）是函数f（x）=x³+ax²+（a-6）x（a∈R）的导函数，若f′（x）满足f′（x+1）=f′（1-x），则以下结论正确的是（　　）

• A、函数f（x）的极大值为0
• B、函数f（x）的极小值为5
• C、函数f（x）的极大值为27
• D、函数f（x）的极小值为-27

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，再利用f′（x+1）=f′（1-x），建立等式关系，求出a的值，然后求解函数的极值，解之即可．

解答： 解：对f（x）=x³+ax²+（a-6）x求导，得
f′（x）=3x²+2ax+a-6，
又f′（x+1）=f′（1-x），即f′（x）关于x=1对称，可得

-2a

3×2

=1，即a=-3，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
3x²-6x-9=0，化简得x=3，或x=-1，
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，3）
∴函数在x=3时取得极小值为：-27，
函数在x=-1时取得极大值，函数的极大值为6．
故选：D．

点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算，考查转化思想以及计算能力．