Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA₁=AC=CB=2．E，F分别为AC，BC上的动点，且CE=BF．
（Ⅰ）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）设CE=BF=x，当x为何值时，三棱锥C₁-ECF的体积最大，最大值为多少？
（Ⅲ）若F为线段BC的中点，请问CC₁上是否存在点M，使得B₁M⊥C₁O，若存在请求出C₁M的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，BC⊥AC，从而AC⊥平面B₁BCC₁，由此能证明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由CE=BF=x，得CF=2-x，从而VC1-ECF=

1

3

CC1•S△ECF=

1

3

•2•

1

2

x(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]，由此求出x=1时，三棱锥C₁-ECF的体积最大，最大值为

1

3

．
（Ⅲ）若F为线段BC的中点，则C₁M=1=CF，由已知得FO∥AC，从而FO⊥平面CBB₁C₁，FO⊥B₁M，由此能求出B₁M⊥C₁O．

解答： （Ⅰ）证明：∵BB₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又BC∩BB₁=B，
∴AC⊥平面B₁BCC₁，
∵AC?平面B₁BCC₁，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）解：∵CE=BF=x，∴CF=2-x，
∴VC1-ECF=

1

3

CC1•S△ECF=

1

3

•2•

1

2

x(2-x)
=

1

3

(2x-x2)=

1

3

[-(x-1)2+1]，
∴x=1时，三棱锥C₁-ECF的体积最大，最大值为

1

3

．
（Ⅲ）解：当C₁M=1时，有B₁M⊥C₁O．
理由如下：
若F为线段BC的中点，则C₁M=1=CF，
∴tan∠C1B1M=

1

2

=tan∠CC₁F，∴C₁F⊥B₁M，
∵FO为△ABC的中位线，∴FO∥AC，
∴FO⊥平面CBB₁C₁，∴FO⊥B₁M，
∵OF∩C₁F=F，∴B₁M⊥平面C₁OF，且C₁O?平面C₁OF，
∴B₁M⊥C₁O．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积最大值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．