Question

在已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上的一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求函数的解析式；
（2）说明函数f（x）是由函数y=sinx的图象依次经过哪些变换得到的；
（3）当x∈[

π

12

，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求得A和T的值，代入周期公式求得ω，得到函数f（x）=2sin（2x+φ），再把点M（

2π

3

，-2）
代入函数解析式求得φ，则函数解析式可求；
（2）直接由三角函数的平移变换得答案；
（3）根据x的范围求得2x+

π

6

的范围，则函数的值域可求．

解答： 解：（1）由题意可知，A=2，

T

2

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，则ω=2．
∴函数f（x）=2sin（2x+φ），
又图象上的一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
∴2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴函数y=sinx的图象先向左平移

π

6

个单位长度，再把所得图象上点的横坐标缩小到原来的

1

2

（纵坐标不变），最后把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），所得图象的函数解析式即为f（x）；
（3）x∈[

π

12

，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，考查了其图象变换，训练了三角函数值域的求法，是基础题．