Question

当x＞0时，求证：e^x＞lnx+2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：构造函数F（x）=e^x-lnx-2，（x＞0），F′(x)=ex-

1

x

，F′(x)=ex-

1

x

也是R⁺上的增函数，由导数性质推导出F（x）_min=F（t）=t+

1

t

-2≥0，由此能证明当x＞0时，不等式e^x＞lnx+2恒成立．

解答： 证明：设函数F（x）=e^x-lnx-2，（x＞0），
F′(x)=ex-

1

x

，…1分
当x=10时，F′(x)=e10-

1

10

＞1-

1

10

＞0，…2分
当x=

1

10

时，F′(

1

10

)=e

1

10

-

1

1 10

=e

1

10

-10＜e-10＜0，…3分
y=e^x和y=-

1

x

都是R⁺上的增函数，
F′(x)=ex-

1

x

也是R⁺上的增函数，…4分
根据零点存在定理，必存在常数t＞0，
使得方程et-

1

t

=0成立，且解是唯一的…5分
当x∈（0，t）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数；
当x∈（t，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数；
所以函数F（x）的最小值为F（t），即F（x）_min=F（t）=e^t-lnt-2，t≠1．…7分
因为et-

1

t

=0，所以t=

1

et

，lnt=-t，
所以F（x）_min=F（t）=t+

1

t

-2≥0，（当t=1时，不等式等号成立），…9分
t≠1，所以当x＞0时，不等式e^x＞lnx+2恒成立．…10分．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．