Question

若函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在区间（

1

2

，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（2，

  5

  2

  ）
• B、[2，

  5

  2

  ）
• C、（2，

  10

  3

  ）
• D、[2，

  10

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：由函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在区间（

1

2

，3）上有极值点，我们易得函数的导函数在区间（

1

2

，3）内有零点，分离参数，确定范围即可得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
若函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在区间（

1

2

，3）上有极值点，
则f′（x）=x²-ax+1在区间（

1

2

，3）内有零点
由x²-ax+1=0可得a=x+

1

x

∵x∈（

1

2

，3），
∴2≤a＜

10

3

，
当a=2时，函数f（x）的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2．
故选C．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．