Question

已知函数f（x）=kx-

k

x

-2lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x+5y-2=0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用导数的几何意义确定k的取值，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据函数单调性和导数之间的关系，转化为导数恒成立王廷江，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
可知f′(1)=2k-2=-

2

5

，得k=

4

5

，
∴f′(x)=

4x2-10x+4

5x2

=

2(2x-1)(x-2)

5x2

，
∵f（x）的定义域是（0，+∞），
故由f'（x）＞0得0＜x＜

1

2

，或x＞2，由f'（x）＜0得

1

2

＜x＜2，
∴函数f（x）的单调增区间是(0，

1

2

)，(2，+∞)，单调减区间是(

1

2

，2)．
（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域为函数（0，+∞），要使函数函数y=f（x）在其定义域内为单调增函数，
只需函数f'（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立．
即kx²-2x+k≥0在区间（0，+∞）恒成立．即k≥

2x

x2+1

在区间（0，+∞）恒成立．
令g(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），g(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
当且仅当x=1时取等号，
∴k≥1．实数k的范围[1，+∞）．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性问题．