Question

（1）用定义法证明函数f（x）=

1-x

x- 2

在（

2

，+∞）上是增函数；
（2）判断函数g（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的奇偶性，并予以证明．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）=

1-x

x- 2

在（

2

，+∞）上是增函数；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数g（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的奇偶性．

解答： 解：（1）f（x）=

1-x

x- 2

=

1- 2 -(x- 2 )

x- 2

=-1+

1- 2

x- 2

任意设

2

＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1- 2

x1- 2

-

1- 2

x2- 2

=（

2

-1）[

1

x2- 2

-

1

x1- 2

]=（

2

-1）

x1-x2

(x2- 2 )(x1- 2 )

，
∵

2

＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁-

2

＞0，x₂-

2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（

2

，+∞）上是增函数；
（2）函数g（x）是奇函数．
证明：要使函数g（x）有意义，判断函数e^x-e^-x≠0，即x≠0，
g（-x）=

e-x+ex

e-x-e-x

=-

ex+e-x

ex-e-x

=-g（x），
即函数g（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数单调性和的奇偶性的证明和判断，利用相应的定义是解决本题的关键．