Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足

(2a-c)cosB

b

=cosC．
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4k，1）（k＞0），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式即可得出；
（2）利用数量积运算、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由已知利用正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）

m

 • 

n

=4ksinA+cos2A=4ksinA+1-2sin2A，A∈(0，  

2π

3

)
令sinA=t，则

m

 • 

n

=f(t)=-2t2+4kt+1，t∈(0，  1]
对称轴为t=k＞0
①当0＜k≤1时，f(t)max=f(k)=-2k2+4k2+1=5
∴k=±

2

（舍）
②当k＞1时，f（t）_max=f（1）=-2+4k+1=5
∴k=

3

2

综上，k=

3

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、数量积运算、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．