Question

已知函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设P=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，Q=f （

x1+x2

2

）．试比较P与Q的大小；
（3）是否存在实数a∈[-8，0]，使得函数f（x）在区间[-4，0]上的最小值为-7？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1为二次函数，开口向上，对称轴为 x=a-2，由此能求出实数a的取值范围．
（2）作差得P-Q=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）-f （

x1+x2

2

）=

(x1-x2)2

4

＞0，由此得到P＞Q．
（3）设存在这样的a，由于-8≤a≤0，所以-10≤a-2≤-2，由此结合对称轴利用函数的单调性能求出存在a=-1满足条件．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1为二次函数，
开口向上，对称轴为 x=a-2，
要使函数在[1，+∞）上单调递增，则对称轴必在x=1的右侧，
即a-2≥1，解得a≥3．
∴实数a的取值范围是[3，+∞）．
（2）P-Q=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）-f （

x1+x2

2

）
=

1

2

[x₁²+（4-2a）x₁+a²+1+x₂²+（4-2a）x₂+a²+1]-[

(x1+x2)2

4

+

1

2

（4-2a）（x₁+x₂）+a²+1]
=

x12+x22

2

-

(x1+x2)2

4

=

(x1-x2)2

4

＞0，
∴P＞Q．
（3）设存在这样的a，
由于-8≤a≤0，∴-10≤a-2≤-2，
若-10≤a-2＜-4，即-8≤a＜-2，则f（x） 在[-4，0]上为减函数，
∴f（0）=a²+1=-7，
无解；
若-4≤a-2≤-2，即-2≤a≤0，
则f（a-2）=（a-2）²+（4-2a）（a-2）+a²+1=-7，
化简得4a+4=0，解得 a=-1，
综上，存在a=-1满足条件．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查两数大小的比较，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意二次函数性质的合理运用．