Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）直线x=

2

3

π对称，且它的最小正周期为π，则（　　）

• A、f（x）的图象经过点（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）在区间[

  5

  12

  π，

  2

  3

  π]上是减函数
• C、f（x）的最大值为A
• D、f（x）的图象的一个对称中心是（

  5

  12

  π，0）

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得ω，进而由对称性可求φ，可得函数解析式，逐个选项验证可得．

解答： 解：由题意可得

2π

ω

=π，解得ω=2，
又图象关于直线x=

2

3

π对称，
∴Asin（2×

2π

3

+φ）=±A，
∴sin（2×

2π

3

+φ）=±1，
∴2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得φ=kπ-

5

6

π，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，∴f（x）=Asin（2x+

π

6

）
∵A正负和值不定，∴A、B、C错误；
选项D，无论A取何值，均有f（

5π

12

）=0，
故选：D

点评：本题考查三角函数的性质，由题意求出三角函数的解析式是解决问题的关键，属中档题．