Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cos2x），\overrightarrow b=（2\sqrt{3}cosx，-1）$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求tan2x的值；
（Ⅱ）求$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的垂直，得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，求出tan2x的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的表达式，化简，从而求出函数的递增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2\sqrt{3}sinxcosx-cos2x=\sqrt{3}sin2x-cos2x=0$，
所以$\sqrt{3}sin2x=cos2x$，
即$tan2x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ） $f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2\sqrt{3}sinxcosx-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
所以$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
即$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
所以f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．

点评 本题考查了向量的垂直问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．