Question

7．已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），直线l：x-2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在x轴上是否存在定点B（不同于点A），使得对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PB|}{|PA|}$为常数？若存在，试求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果．
（2）先设存在，利用都有$\frac{|PB|}{|PA|}$为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．

解答 解：（1）设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0．
∵直线与圆相切，∴$\frac{{|{-b}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=3$，…（2分）
得$b=±3\sqrt{5}$，…（3分）
∴所求直线方程为$y=-2x±3\sqrt{5}$．   …（4分）
（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0）．
当P为圆C与x轴的左交点（-3，0）时，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{|{t+3}|}}{2}$；
当P为圆C与x轴的右交点（3，0）时，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{|{t-3}|}}{8}$．            …（6分）
依题意，$\frac{{|{t+3}|}}{2}=\frac{{|{t-3}|}}{8}$，解得，t=-5（舍去），或$t=-\frac{9}{5}$．      …（8分）[
下面证明当点B的坐标为$（-\frac{9}{5}，0）$时，对于圆C上任一点P，$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$恒为一常数：
设P（x，y），则y²=9-x²，
∴$\frac{{{{|{PB}|}^2}}}{{{{|{PA}|}^2}}}=\frac{{{{（x+\frac{9}{5}）}^2}+{y^2}}}{{{{（x+5）}^2}+{y^2}}}=\frac{{\frac{18}{25}（5x+17）}}{2（5x+17）}=\frac{9}{25}$，
从而$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{3}{5}$为常数．   …（12分）
方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$为常数λ，则PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，
将y²=9-x²代入得x²-2tx+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），…（6分）
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0对x∈[-3，3]恒成立，…（8分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{5{λ^2}+t=0}\\{34{λ^2}-{t^2}-9=0}\end{array}}\right.$，…（10分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{λ=\frac{3}{5}}\\{t=-\frac{9}{5}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}}\right.（舍去）$，…（11分）
所以存在点$B（-\frac{9}{5}，0）$对于圆C上任一点P，都有$\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$为常数$\frac{3}{5}$．    …（12分）

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考查计算能力．是难题．