Question

16．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）设b_n=$\frac{1}{a_n^2}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1（n≥2），代入n=2，3，4计算，可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．
（3）利用放缩法和裂项求和法即可证明．

解答 解：（1）由a₁=2，得${a_2}={a_1}^2-{a_1}+1=3$，
${a_3}={a_2}^2-2{a_2}+1=4$，a₄=5．
（2）由此猜想{a_n}的一个通项公式：a_n=n+1（n≥1）．
下面用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁=2=1+1，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即a_k=k+1，那么${a_{k+1}}={a_k}^2-k{a_k}+1={（k+1）^2}-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1$，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1=（k+1）+1也成立．
根据①②对于所有n≥1，有a_n=n+1．
证明：（3）∵${b_n}=\frac{1}{a_n^2}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{3}{4}$

点评 本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，放缩法和裂项求和法，属于中档题．