Question

【题目】△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC， 又 b=4c，所以cosC= = = ，
所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1= ；
（Ⅱ）因为c=5， b=4c，所以b=4 ，
由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB
则80=a2+25﹣2× a，
化简得，a2﹣6a﹣55=0，
解得a=11或a=﹣5（舍去），
由BD=6得，CD=5，
由cosC= 得sinC= = ，
所以△ADC的面积S=
= =10．
【解析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:;;．