Question

解关于x的不等式ax²-（a-2）x-2＞0（a∈R）．

Answer 1

分析：对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况，再把二次项的系数变为大于0，进而可求出不等式的解集．

解答：解：（1）a=0时，原不等式可化为2x-2＞0，即x＞1，此时原不等式的解集为{x|x＞1}；
（2）a≠0时，△=（a-2）²+8a=（2+a）²≥0，方程ax²-（a-2）x-2=0可化为（ax+2）（x-1）=0，∴x=1或x=-

2

a

．
①当a＞0时，∵1＞-

2

a

，∴原不等式可化为[x-（-

2

a

）]（x-1）＞0，∴其的解集为{x|x＞1或x＜-

2

a

}；
②当-1＜a＜0时，∵-

2

a

＞1，且原不等式可化为[x-（-

2

a

）]（x-1）＜0，∴其解集为{x|1＜x＜-

2

a

}；
③当a=-1时，∵-

2

a

=1，且原不等式可化为（x-1）²＜0，其解集为∅；
④当a＜-1时，∵1＞-

2

a

，且原不等式可化为[x-（-

2

a

）]（x-1）＜0，∴其解集为{x|-

2

a

＜x＜1}．

点评：本题主要考查了含字母的不等式的解法，对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，属于中档题．