Question

17．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到其焦点F的距离等于5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）如图，过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆M：（x-1）²+（y-4）²=4交于C，D两点，且|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意设抛物线方程为x²=2py（p＞0），利用P（m，4）到焦点的距离等于P到其准线的距离，根据抛物线的定义，即可求抛物线C的方程；
（2）由于l过焦点F（0，1），所以直线l的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，原点到直线AB的距离，即可求三角形OAB的面积．

解答 （1）解：由题意设抛物线方程为x²=2py（p＞0），其准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵P（m，4）到焦点的距离等于P到其准线的距离，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，∴p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）显然直线l的斜率存在，设其斜率为k，由于l过焦点F（0，1），所以直线l的方程为y=kx+1，
取CD的中点N，连接MN，则MN⊥CD，
由于|AC|=|BD|，所以N点也是线段AB的中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，所以x₁+x₂=4k，
所以x₀=2k，y₀=2k²+1，即N（2k，2k²+1）
又因为k_MN=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{（2{k}^{2}+1）-4}{2k-1}$=$-\frac{1}{k}$，
整理得2k³-k-1=0，即（k-1）（2k²+2k+1）=0，所以k=1
所以|AB|=y₁+y₂+2=（x₁+1）+（x₂+1）+2=8，
原点到直线AB的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}•|AB|•d$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．