Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF₂|+|AF₂|的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知可得：a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，F₁（-1，0），把x=-1代入椭圆方程可得：y=$±\frac{3}{2}$．由于当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为3，由椭圆的定义可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，即可得出|BF₂|+|AF₂|的最大值．

解答 解：由已知可得：a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，F₁（-1，0），
把x=-1代入椭圆方程可得：${y}^{2}=3×（1-\frac{1}{4}）$，解得y=$±\frac{3}{2}$．
当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为$2×\frac{3}{2}$=3，
由椭圆的定义可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，
∴|BF₂|+|AF₂|的最大值=8-3=5．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．