(本题13分)
已知f(x)=lnx+x2-bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)当b=-1时,设g(x)=f(x)-2x2,求证函数g(x)只有一个零点.
解:(1)∵f(x)在(0,+∞)上递增,
∴f ′(x)=+2x-b≥0,对x∈(0,+∞)恒成立,
即b≤+2x对x∈(0,+∞)恒成立,
∴只需b≤min (x>0),
∵x>0,∴+2x≥2,当且仅当x=时取“=”,
∴b≤2,
∴b的取值范围为(-∞,2].
(2)当b=-1时,g(x)=f(x)-2x2=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞),
∴g′(x)=-2x+1
=-=-,
令g′(x)=0,即-=0,
∵x>0,∴x=1,
当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴当x≠1时,g(x)<g(1),即g(x)<0,当x=1时,g(x)=0.
∴函数g(x)只有一个零点.
解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(2)若对于都有成立,试求的取值范围;
(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题14分)
线的斜率是-5。
(Ⅰ)求实数b、c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x
(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分16分)
已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)若在区间上恒成立,求的取值范围;
(3)当时,求证:在区间上,满足恒成立的函数有无穷多个.
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