Question

已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x
(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a＞0，证明：当0＜x＜时，f＞f；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′(x0)＜0.

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝      …1分
①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．…………2分
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈(0, )时，f′(x)＞0，当x＞时，
f′(x)＜0.所以f(x)在(0, )单调递增，在(,)单调递减．…………4分
(2)设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a   …………………………6分
当0＜x＜时，g′(x)＞0，…………7分   而g(0)＝0，所以g(x)＞0.
故当0＜x＜时，f＞f.    …………………………9分
（3）当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，…………10分
从而f（x）的最大值为，且.…………………………11分
不妨设,则.由（2）得
，而f(x)在(,)单调递减．
∴……14分于是.由（1）知，.…………15分

解析