Question

(本小题满分14分) 已知函数在处取得极值。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；
（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ），依题意，，………1分
即，解得     …………………3分
经检验符合。
（Ⅱ）
当时，，故在区间上为减函数，
                    ……………………5分
∵对于区间上任意两个自变量的值，
都有
       …………………………7分
（Ⅲ），
∵曲线方程为，∴点不在曲线上，
设切点为M(x₀,y₀)，则点M的坐标满足。
因，故切线的斜率为，
整理得。
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，
∴关于的方程有三个实根。……………9分
设，则，

解析