Question

已知函数.
（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数
有无穷多个.

Answer 1

解：(1)因为 ，所以在点处的切线的斜率为
，
所以在点处的切线方程为 ，……2分
整理得，所以切线恒过定点 ．   ………4分
(2) 令<0，对恒成立，
因为 （*）
………………………………………………………………6分
令，得极值点，，
①当时，有，即时，在（，+∞）上有，
此时在区间上是增函数，并且在该区间上有∈，不合题意；
②当时，有，同理可知，在区间上，有∈，
也不合题意；          …………………………………………… 8分                              
③当时，有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以．    
综上可知的范围是．      ……………………………………………12分
(3)当时，
记．
因为，所以在上为增函数，
所以，        ………………………………14分
设, 则,
所以在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．16分

解析