Question

8．设函数f（x）的定义域为R⁺，且有：
①f（$\frac{1}{2}$）=1；
②对任意正实数x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y）
③f（x）为减函数．
（1）求：f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{8}$），f（1），f（2），f（4）的值；
（2）求证：当x∈[1，+∞）时，f（x）≤0
（3）求证：当x，y∈R⁺时．都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）解不等式：f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）利用对任意正实数x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y），代入计算求：f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{8}$），f（1），f（2），f（4）的值；
（2）利用f（x）为减函数，证明当x∈[1，+∞）时，f（x）≤0；
（3）利用对任意正实数x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y），证明：当x，y∈R⁺时．都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）不等式：f（-x）+f（3-x）≥-2，可化为f[-x（3-x）]≥f（4），利用f（x）为减函数，即可解不等式．

解答 （1）解：f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=2，
f（$\frac{1}{8}$）=f（$\frac{1}{2}•\frac{1}{4}$）=3，
f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0
f（1）=f（2•$\frac{1}{2}$）=f（2）+1，∴f（2）=-1，
f（4）=f（2•2）=2f（2）=-2；
（2）解：设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴x∈（1，+∞）时，f（x）＜0
∵f（1）=0，
∴x∈[1，+∞）时，f（x）≤0
（3）证明：当x，y∈R⁺时，f（x）=f（$\frac{x}{y}$•y）=f（$\frac{x}{y}$）+f（y），
∴f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）解：∵f（-x）+f（3-x）≥-2，
∴f[-x（3-x）]≥f（4），
∵f（x）为减函数，
∴-x（3-x）≤4，-x＞0，3-x＞0，
∴-1≤x＜0，
∴不等式的解集为{x|-1≤x＜0}．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．