Question

（文）已知函数f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

(ω＞0)的最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的奇偶性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），利用其最小正周期为4π可求得ω；
（2）由（1）知，f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），
∵T=

2π

2ω

=4π，
∴ω=

1

4

．
（2）∵f（x）=sin(

1

2

x+

π

6

)
∵-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

4

3

π+4kπ≤x≤

2

3

π+4kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[-

4π

3

+4kπ，

2π

3

+4kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．