Question

已知数列{b_n}满足b₁=1，且b_n=2b_n-1+3，
（Ⅰ）证明数列{b_n+3}是等比数列并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列，若cn=

an

bn+3

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由b_n=2b_n-1+3变形为b_n+3=2（b_n-1+3），即可证明，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列的通项公式可得a_n，再利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由b_n=2b_n-1+3得b_n+3=2（b_n-1+3），
∴数列{b_n+3}是以2为公比的等比数列，
∴bn+3=(b1+3)2n-1=(a1+3)2n-1=2n+1，
∴bn=2n+1-3，
（Ⅱ）由已知的a_n=2n-1．
∴cn=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

∴Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

①
两边同乘以

1

2

得

1

2

Tn=

1

23

+

3

24

+

5

25

+…+

2n-1

2n+2

②
①-②得

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

2

24

+

2

25

+…+

2

2n+1

-

2n-1

2n+2

，
∴T_n=

1

2

+(1-

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的通项公式、“错位相减法”，属于中档题．