Question

20．已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；
（2）求f（x）的反函数；
（3）若${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，解关于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），从而f（-x）=-f（x），进而f（x）为奇函数；当a＞1时，f（x）单调递增，当0＜a＜1时，f（x）单调递减．
（2）由y=f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），求出x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，x，y互换，得到f（x）的反函数．
（3）由${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，求出a=2，由f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$单调递增，得到f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$也单调递增，由此能求出关于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），
∴f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），
∴f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
故f（x）为奇函数，
当a＞1时，f（x）单调递增，当0＜a＜1时，f（x）单调递减．（3分）
（2）∵y=f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），
∴$\frac{1+x}{1-x}$=a^y，整理，得：x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，
x，y互换，得到f（x）的反函数${f^{-1}}（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（x∈R）$．（5分）
（3）∵${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，∴$\frac{a-1}{a+1}=\frac{1}{3}$，解得a=2，
∴f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$单调递增，
故f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$也单调递增，
∵f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$$＜\frac{1}{3}$=$\frac{2-1}{2+1}$．
∴x＜1．
∴关于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$的解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$}．（9分）

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查反函数的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．