Question

7．设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{3}{4}$x，且过点（4$\sqrt{2}$，-3）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线l过点A（8，3）交双曲线于P、Q两点，且PQ的中点为A，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求得渐近线方程，代入已知点的坐标，可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程；
（2）设P（m，n），Q（s，t），代入双曲线的方程，作差，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理可得直线l的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：（1）设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{32}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
解得a=4，b=3，
即有双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）设P（m，n），Q（s，t），可得
$\frac{{m}^{2}}{16}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{s}^{2}}{16}$-$\frac{{t}^{2}}{9}$=1，
两式相减可得，$\frac{（m-s）（m+s）}{16}$=$\frac{（n-t）（n+t）}{9}$，
PQ的中点为A，可得m+s=16，n+t=6，
即有直线l的斜率为k=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{9（m+s）}{16（n+t）}$=$\frac{9×16}{16×6}$=$\frac{3}{2}$，
可得直线l的方程为y-3=$\frac{3}{2}$（x-8），
即为3x-2y-18=0．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及渐近线方程，考查直线方程的求法，注意运用点差法，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．