Question

设函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，a＞0
（1）若f（x）在[2，+∞﹚上单调递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间﹙0，1]上的最小值；   
（3）当a=2时，方程f（x）-m=0在[

1

e

，e]上有两个不同的根，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

ax-1

ax2

，x＞0．由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知a≥

1

x

在[2，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范围．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，由x∈（0，1]，知a≥1，当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

1

a

，1）时，f′（x）＞0，由此能求出f（x）在区间（0，1]上的最小值．
（3）由题设知m=lnx+

1-x

2x

在[

1

e

，e]内有两个不等的实根，令g（x）=lnx+

1-x

2x

，则g'（x）=

1

x

-

1

2x2

，由此能求出m的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，a＞0，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

，x＞0．
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[2，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[2，+∞）时，

1

x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

，即a的取值范围为[

1

2

，+∞）．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，
∵x∈（0，1]，∴0＜

1

a

≤1，即a≥1．
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＜0，
当x∈（

1

a

，1）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，1]上的最小值为：
f（x）min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．
（3）由题设知m=lnx+

1-x

2x

在[

1

e

，e]内有两个不等的实根，
令g（x）=lnx+

1-x

2x

，则g'（x）=

1

x

-

1

2x2

，
令g'（x）=0，得x=0（舍），x=

1

2

，
所以 在（0，

1

2

]内，g（x）单调减  在[

1

2

，+∞]内g（x）单调增
而g（

1

2

）=ln

1

2

+

1

2

，g（

1

e

）=ln

1

e

+

1- 1 e

2 e

=

e-3

2

＜g（e）=lne+

1-e

2e

=1+

1-e

2e

=

1

2e

+

1

2

，
所以

1

2

+ln

1

2

＜m＜

1

2e

+

1

2

．

点评：本题考查求a的取值范围和求函数f（x）在指定区间上的最小值．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．