Question

将函数f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在区间（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n} (n=1,2,3,…).
(1)求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2,求证：b_n=（n=1，2，3，…）.

Answer 1

（1）a_n=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）（2）证明见解析

（1）解 ∵f（x）=sinx·sin(x+)·sin(x+)
=sinx··cosx
=-sinx·cosx=-sin3x
∴f（x）的极值点为x=+，k∈Z，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，
∴a_n=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）.
（2）证明 由a_n=知对任意正整数n,a_n都不是的整数倍.
所以sina_n≠0,从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0.
于是==
==-1.
又b₁=sin·sin·sin=,
{b_n}是以为首项，-1为公比的等比数列.
∴b_n=（n=1，2，3，…）.