Question

设y=f（x）是函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的反函数，
（1）试比较3f（x）与f（3x）的大小；
（2）若在区间[1，2]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的反函数，得到3f（x）与f（3x），然后利用作差法比较真数的大小，然后利用对数函数的单调性得答案；
（2）分类求出函数在区间[1，2]上的最大值比最小值，由最大值比最小值大1求实数a的值．

解答： 解：由y=a^x-1（a＞0，a≠1），得a^x=1+y，即x=log_a（1+y），
x，y互换得：y=log_a（1+x），
∴f（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）3f（x）=3log_a（1+x）=loga(1+x)3，f（3x）=log_a（1+3x），
∵（1+x）³-（1+3x）=1+3x+3x²+x³-1-3x
=3x²+x³=x²（3+x）＞0 （x＞-1），
∴（1+x）³＞1+3x．
当a＞1时，3f（x）＞f（3x）；
当0＜a＜1时，3f（x）＜f（3x）．
（2）当a＞1时，f（x）=log_a（1+x）在区间[1，2]上的最大值与最小值分别为log_a3，log_a2，
由loga3-loga2=loga

3

2

=1，解得a=

3

2

；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a（1+x）在区间[1，2]上的最大值与最小值分别为log_a2，log_a3，
由log_a2-log_a3=1，解得：a=

2

3

．

点评：本题考查了函数的反函数的求法，考查了函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．