Question

11．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2；②$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=x+2；
③f（x）=e^-x，$g（x）=-\frac{1}{x}$；④f（x）=lnx，g（x）=x．
则在区间（0，+∞）上存在唯一“友好点”的是①④．（填上所有正确的序号）

Answer 1

分析 根据“友好点”的定义，分别进行判断即可．

解答 解：①f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，∴要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则只有当x₀=1时，满足条件，
∴在区间（0，+∞）上的存在唯一“友好点”，∴①正确．
②g（x）-f（x）=x-$\sqrt{x}$+2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}≥\frac{7}{4}＞1$，∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．
③设h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+$\frac{1}{x}$则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，
∴③不满足条件，∴③错误．
④h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx，（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
∴当x₀=1时，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④满足条件．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．