Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，$\overrightarrow a=（{a_1}，1），\overrightarrow b=（1，{a_{10}}）$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=24$，且S₁₁=143，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和M_n
（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，利用数量积运算性质可得：a₁+a₁₀=24，又S₁₁=143，解得a₁，d，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”方法即可得出．
（Ⅱ）由${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$，且a₁=3，可得${T_n}=\frac{1}{λ}{4^n}+\frac{2}{λ}$，对n分类讨论，利用等比数列的定义即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由$\overrightarrow a=（{a_1}，1），\overrightarrow b=（1，{a_{10}}）$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=24$，
∴a₁+a₁₀=24，又S₁₁=143，
解得a₁=3，d=2，因此数列的通项公式是${a_n}=2n+1（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
∴${M_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{6n+9}$．
（Ⅱ）∵${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$，且a₁=3，可得${T_n}=\frac{1}{λ}{4^n}+\frac{2}{λ}$，
当n=1时，${b_1}=\frac{6}{λ}$；
当n≥2时，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{λ}{4^{n-1}}$，此时有$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=4$，
若是{b_n}等比数列，则有有$\frac{b_2}{b_1}=4$，而${b_1}=\frac{6}{λ}$，${b_2}=\frac{12}{λ}$，彼此相矛盾，
故不存在非零实数，使数列为等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法、向量的数量积运算性质，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．