Question

15．设命题p：?x∈R，x²-2（m-3）x+1=0，命题q：?x∈R，x²-2（m+5）x+3m+19≠0
（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围
（2）若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围．
（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．
（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，进而可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：若命题p：?x∈R，x²-2（m-3）x+1=0为真命题，
则△=4（m-3）²-4≥0，
解得：m∈（-∞，2]∪[4，+∞）；
若命题q：?x∈R，x²-2（m+5）x+3m+19≠0
则△=4（m+5）²-4（3m+19）＜0，
解得：m∈（-6，-1），
（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，
则命题p，q一真一假，
当p真q假时，m∈（-∞，2]∪[4，+∞），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）
即m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞），
当p假q真时，m∈（2，4），且m∈（-6，-1），此时不存在满足条件的m值；
综上可得：m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞）…（6分）
（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，
若命题p，q全为假，则m∈（2，4），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）
即m∈（2，4），
结合（1）的结论可得：
此时m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）        …（9分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根的个数及判断等知识点，难度中档．