Question

已知f（x）=

1

x+1

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₄=a₂₀₁₂，则a₂₀+a₁₁=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意求得a₂₀₁₂，即可得出当n为偶数时，a_n=

5 -1

2

，求得a₂₀，又由递推法可以求得a₁₁的值，即可得出结论．

解答： 解：由题意得
a_n+2=f（a_n）=

1

an+1

，又a₂₀₁₄=a₂₀₁₂，
∴

1

a2012+1

=a₂₀₁₂，解得a₂₀₁₂=

5 -1

2

，
∴由a_n+2=

1

an+1

得，a_n=

1-an+2

an+2

，
∴当a_n+2=

5 -1

2

时，a_n=

5 -1

2

，
∴当n为偶数时，a_n=

5 -1

2

，即a₂₀=

5 -1

2

，
又a₁=1，∴a₃=f（a₁）=

1

2

，a₅=f（

1

2

）=

2

3

，a₇=f（

2

3

）=

3

5

，a₉=（

3

5

）=

5

8

，a₁₁=f（

5

8

）=

8

13

，
∴a₂₀+a₁₁=

5 -1

2

+

8

13

=

13 5 +3

26

．

点评：本题主要考查数列的递推公式的运用能力及运算求解能力，属中档题．