【题目】设函数, 为正实数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求证: ;
(3)若函数有且只有个零点,求的值.
【答案】(1)(2)详见解析(3).
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得,所以先求导数,代入即得,又,由点斜式得切线方程(2)由于,所以转化为证明恒成立,即,转化为利用导数求函数最值(3)因为,而先增后减,且,所以必为最大值(极大值),解得,最后证明当1不为极值点时, 的零点不唯一.
试题解析:(1)当时, ,则,……………2分
所以,又,
所以曲线在点处的切线方程为.…………4分
(2)因为,设函数,
则, …………………………………………………6分
令,得,列表如下:
极大值 |
所以的极大值为.
所以.………………………………………………8分
(3), ,
令,得,因为,
所以在上单调增,在上单调减.
所以.………………………………………………10分
设,因为函数只有1个零点,而,
所以是函数的唯一零点.
当时, , 有且只有个零点,
此时,解得.…………………………………………12分
下证,当时, 的零点不唯一.
若,则,此时,即,则.
由(2)知, ,又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,
所以在和之间存在的零点,则共有2个零点,不符合题意;
若,则,此时,即,则.
同理可得,在和之间存在的零点,则共有2个零点,不符合题意.
因此,所以的值为.…………………………………………………16分
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【题目】已知某服装厂每天的固定成本是30000元,每天最大规模的生产量是件.每生产一件服装,成本增加100元,生产件服装的收入函数是,记,分别为每天生产件服装的利润和平均利润().
(1)当时,每天生产量为多少时,利润有最大值;
(2)每天生产量为多少时,平均利润有最大值,并求的最大值.
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【题目】椭圆与轴,轴的正半轴分别交于两点,原点到直线的距离为,该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点,求线段的垂直平分线在轴上截距的取值范围.
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【题目】时下,租车已经成为新一代的流行词,租车自驾游也慢慢流行起来,某小车租车点的收费标准是,不超过2天按照300元计算;超过两天的部分每天收费标准为100元(不足1天的部分按1天计算).有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游(各租一车一次),设甲、乙不超过2天还车的概率分别为;2天以上且不超过3天还车的概率分别;两人租车时间都不会超过4天.
(1)求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望.
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【题目】如图1,在四棱锥中,底面是正方形,.
(1)如图2,设点为的中点,点为的中点,求证: 平面;
(2)已知网格纸上小正方形的边长为,请你在网格纸上用粗线画图1中四棱锥的府视图(不需要标字母),并说明理由.
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【题目】设椭圆的焦点,过右焦点的直线与 相交于两点,若的周长为短轴长的倍.
(1)求的离心率;
(2)设的斜率为,在上是否存在一点,使得?若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由.
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【题目】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获(单位:)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | |
51 | 48 | 45 | 42 |
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)在所种作物中堆积选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
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【题目】几何证明选讲
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线与曲线交于两点,求的最大值和最小值.
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