Question

．已知函数f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝－x²＋2bx－4，若对任意x₁∈(0,2)，x₂∈[1,2]，不等式f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解　问题等价于f(x)_min≥g(x)_max.因为f(x)＝lnx－x＋－1，所以f′(x)＝－－＝，由f′(x)>0，得x²－4x＋3<0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)_min＝f(1)＝－.由于函数g(x)＝－x²＋2bx－4，x∈[1,2]，当b<1时，g(x)_max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x)_max＝g(b)＝b²－4；当b>2时，g(x)_max＝g(2)＝4b－8.

故问题等价于

或

解第一个不等式组，得b<1，解第二个不等式组，得1≤b≤，第三个不等式组无解．

综上所述，b的取值范围是.