Question

(本小题满分12分)
已知数列中，，且点在直线上.数列中，，，
(Ⅰ) 求数列的通项公式（Ⅱ）求数列的通项公式； 
（Ⅲ）（理）若，求数列的前项和.

Answer 1

(Ⅰ) （n∈）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（n∈）

本题考查数列的通项公式的计算和前n项和公式的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．
（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由错位相减法能求出S_n．
解：(Ⅰ)由得
所以是首项为，公比为2的等比数列.
所以，故（n∈）
（Ⅱ）因为在直线上，
所以即又
故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
（Ⅲ）== 故
所以
故
相减得
所以（n∈）