Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆上有一点，且点，的极坐标分别为，.

（1）求圆的直角坐标方程及直线的普通方程；

（2）设直线与坐标轴的两个交点分别为，，点在圆上运动，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）圆的直角坐标方程为.直线的普通方程为.（2）

【解析】

（1）先将极坐标化为直角坐标，再根据标准式的圆方程，消去参数可得直线普通方程，（2）根据圆的性质可得圆上点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径之和，再根据面积公式得结果.

解：（1）因为点的直角坐标为，

圆心的直角坐标为，

所以圆的半径，

所以圆的直角坐标方程为.

由直线的参数方程，消去参数，得，

故直线的普通方程为.

（2）在直线：中，

令，得；令，得，

所以不妨设，，所以.

又圆上点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径之和，

设圆心到直线的距离为，

所以，

所以圆上的点到直线的距离的最大值为，

所以面积的最大值为.