Question

12．某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体．因技术原因，第t分钟内投放净化剂的路径长度p=140-|t-40|（单位：m），净化剂净化水体的宽度q（单位：m）是时间t（单位：分钟）的函数：q（t）=1+a²t（a由单位时间投放的净化剂数量确定，设a为常数，且a∈N^*）．
（1）试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积S（t）（1≤t≤60，t∈N^*）的表达式；
（2）求S（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出分段函数的解析式．
（2）利用分段函数以及函数的单调性，结合基本不等式求解函数的最值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由题意，S（t）=p（t） q（t）=（140-|t-40|）（1+$\frac{{a}^{2}}{t}$）=$\left\{\begin{array}{l}{100+{a}^{2}+t+\frac{100{a}^{2}}{t}，1≤t＜40，t∈{N}^{•}}\\{180-{a}^{2}-t+\frac{180{a}^{2}}{t}，40≤t≤60，t∈{N}^{•}}\end{array}\right.$
（2）当40≤t≤60且t∈N^*时，S（t）=180-a²-t+$\frac{180{a}^{2}}{t}$，当t增加时$\frac{180{a}^{2}}{t}$减少，
所以S（t）在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S（t）有最小值2a²+120．
当1≤t＜40且t∈N^*时，S（t）=100+a²+t+$\frac{180{a}^{2}}{t}$≥100+a²+20a；
①若a=1或2或3时；当t=10a时，上述不等式中的等号成立，
S（t）在1≤t＜40范围中有最小值a²+2a+100．
又在40≤t≤60时S（t）有最小值2a²+120．
当a=1时，100+a²+20a=121＜122=2a²+120，故S（t）有最小值121；
当a=2或a=3时，100+a²+20a＞2a²+120，故S（t）有最小值2a²+120．
②若a≥4且1≤t＜40时，因为1+$\frac{100{a}^{2}}{t+1}$-$\frac{100{a}^{2}}{t}$=1-$\frac{100{a}^{2}}{t（t-1）}$≤0，
所以S（t+1）=100+a²+t+1+$\frac{100{a}^{2}}{t+1}$≤S（t）=100+a²+t+$\frac{100{a}^{2}}{t}$，
故S（t）在1≤t≤40中单调递减；又S（t）在40≤t≤60时单调递减，
所以S（t）在1≤t≤60时单调递减．
所以，当t=60时，S（t）有最小值2a²+120．
综上，若a=1，当t=10时，S（t）有最小值121；即第10天的销售额最少，为121千元．
若a≥4且a∈N^*，当t=60时，S（t）有最小值2a²+120．

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的解析式的应用，考查实际问题的解法，是中档题．