Question

2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=CC₁，平面BAC₁⊥平面ACC₁A₁，∠ACC₁=∠BAC₁=60°，AC₁∩A₁C=O．
（Ⅰ）求证：BO⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BO⊥AC₁，由此利用平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，能证明BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）依题意，四边形AA₁C₁C为菱形，且∠AA₁C₁=60°
∴△AA₁C₁为正三角形，又∠BAC₁=60°，
∴△BAC₁为正三角形，又O为AC₁中点，
∴BO⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∵BO?平面AA₁CC₁，∴BO⊥平面AA₁C₁C．…（4分）
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，
令AB=2，则$A（0，-1，0），C（\sqrt{3}，0，0），B（0，0，\sqrt{3}）$，C₁（0，1，0）
∴$\overrightarrow{B{C_1}}=（0，1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，0）$
设平面BB₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{C_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，\sqrt{3}，1）$…（9分）
又面ABC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{OC}=（\sqrt{3}，0，0）$
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$   …（11分）
故所求二面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．