Question

13．已知函数f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x₀）=$\sqrt{3}$，且x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换、正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由题意利用f（x₀）=$\sqrt{3}$，且x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求得x₀的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）若f（x₀）=2sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，且x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，则 2x₀-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或 2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，∴x₀ =$\frac{π}{3}$，或 x₀ =$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，根据三角函数的值求角，属于中档题．