Question

5．已知圆A：x²+y²+2x-15=0，过点B（1，0）作直线l（与x轴不重合）交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ） 求点E的轨迹方程；
（Ⅱ）动点M在曲线E上，动点N在直线$l：y=2\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出图形，利用平面几何知识可得|EA|+|EB|=4，再由椭圆定义得点E的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线ON的斜率不存在，可得|ON|=2$\sqrt{3}$，|OM|=2，|MN|=4，利用三角形面积相等可得原点O到直线MN的距离d=$\sqrt{3}$．若直线ON的斜率存在，设直线OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M坐标，直线ON的方程为y=$-\frac{1}{k}x$，代入y=$2\sqrt{3}$求得N的坐标．利用勾股定理求得|MN|²，再由三角形面积相等可得原点O到直线MN的距离d=$\sqrt{3}$．

解答 （Ⅰ）解：∵|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，∴|EB|=|ED|，
故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圆A的标准方程为（x+1）²+y²=16，从而|AD|=4，
∴|EA|+|EB|=4，
由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：①若直线ON的斜率不存在，|ON|=2$\sqrt{3}$，|OM|=2，|MN|=4，
原点O到直线MN的距离d=$\frac{|OM|•|ON|}{|MN|}=\sqrt{3}$．
②若直线ON的斜率存在，设直线OM的方程为y=kx，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
直线ON的方程为y=$-\frac{1}{k}x$，代入y=$2\sqrt{3}$，得N（$-2\sqrt{3}k，2\sqrt{3}$）．
由题意知|MN|²=|ON|²+|OM|²=$（-2\sqrt{3}k）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}+\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
设原点O到直线MN的距离为d，由题意知|MN|•d=|OM|•|ON|，
得${d}^{2}=\frac{|OM{|}^{2}•|ON{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}=3$，则d=$\sqrt{3}$．
综上所述，原点O到直线MN的距离为定值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．