Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，$∠BAD=\frac{π}{3}$，PA=PD，F为AD的中点，PD⊥BF．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若菱形ABCD的边长为6，PA=5，求四面体PBCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接PF，由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；
（2）证明PF⊥平面ABCD，计算PF，代入体积公式计算．

解答 （1）证明：连接PF，
∵PA=PD，F为AD的中点，
∴PF⊥AD，
∵底面ABCD是菱形，$∠BAD=\frac{π}{3}$，
∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，
∴BF⊥AD，
又PF，BF?平面PBF，PF∩BF=F，
∴AD⊥平面PBF，∵PB?平面PBF，
∴AD⊥PB．
（2）解：由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD?平面PAD，
∴BF⊥平面PAD，又BF?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥平面ABCD，
在直角△PAF中，PA=5，AF=$\frac{1}{2}$AD=3，∠PFA=90°，∴PF=4，
∴四面体PBCD的体积$V={V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•PF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×4=12\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．