Question

18．已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形SD⊥面ABCD，SD=1，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M、N分别为SB、SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD、AB相交于点P、Q．
（1）在图中作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD，并指出P、Q的位置
（不要求证明）；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，求二面角M-PQ-B的平面角大小？

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DC中点P，AB中点Q，连MQ、PQ、NP，则作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．
（Ⅱ）由余弦定理求得$BD=2\sqrt{3}$，从而AD⊥BD，以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-PQ-B的大小．

解答 解：（Ⅰ）如图，P是DC的中点，Q是AB的中点，
取DC中点P，AB中点Q，连MQ、PQ、NP，则作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．
（若NP．PQ未作成虚线，扣两分）…（4分）
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设AB=2AD=4，∠DCB=60°，
所以由余弦定理得$BD=2\sqrt{3}$，有AB²=AD²+BD²，所以AD⊥BD，…．（5分）
以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，
且$A（{1，0，0}），B（{0，\sqrt{3}，0}），S（{0，0，1}），M（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
又$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，设Q（x，y，z），则$Q（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）$…（7分）
设平面的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}}\right.$得$\overrightarrow n=（{0，-\sqrt{3}，1}）$，…（9分）
易知面ABCD的法向量为$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$
则$cos\left?{\vec m，\left.{\vec n}\right＞}\right.=\frac{{|{\overrightarrow m\overrightarrow{•n}}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$
所以二面角M-PQ-B为60°…（12分）

点评 本题考查满足条件的平面的作法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．